Die Dimension eines fraktalen Gebildes

Wir betrachten zunächst die Dimension eines Quadrates mit der Seitenlänge $l=5$. In dieses Quadrat fügen wir Quadrate mit der Seitenlänge $l=1$ ein - der Verkürzungsfaktor beträgt also $5$. Im gegebenen Quadrat haben somit $25$ Quadrate Platz; daraus bestimmen wir die Dimension:

$$5^x = 25$$

Wir lösen diese Exponentialgleichung:

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\log(5^x) = \log 25} \\ \lefteqn{x \cdot \log 5 = \l... ...} \\ \lefteqn{x = \frac {\log 25} {\log 5}} \\ \lefteqn{x = 2} \end{eqnarray*}$$

Wir erhalten für die Dimension den Wert 2 (das hätten wir auch gleich gewusst ;-). Wenden wir dieses Verfahren auf alle Fraktale an, etwa auf die Kochkurve, so erhalten wir keine ganzzahligen Dimensionen: Man teilt die Strecke in 3 gleich lange Teilstrecken auf, wobei man anstatt des mittleren Teilstückes die beiden anderen Seiten des gleichseitigen Dreiecks zeichnet. Damit erhalten wir den Verkleinerungsfaktor 3, wobei eben 4 Strecken gezeichnet werden. Wir erhalten analog zu oben:

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\log(3^x) = \log 4} \\ \lefteqn{x \cdot \log 3 = \lo... ... \lefteqn{x = \frac {\log 4} {\log 3}} \\ \lefteqn{x = 1,26186} \end{eqnarray*}$$

Das Ergebnis ist keine ganze Zahl, sondern (näherungsweise) ein Bruch. Aus dieser Dimensionseigenschaft leitet sich der Name ``Fraktal'' ab. Für das Menger-Fraktal ergibt sich die Dimension 1,89; für das Sierpinsky-Dreieck 1,58 (rechne nach!).